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Unità di misura antiche, vecchie e regionali
Storia della Matematica e geometria
   Problemi degli esami di stato

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Qualche quesito di Matematica
Università Federico II Napoli: Matematica
Università Bocconi di Milano: Matematica
Università Statale di Milano: Matematica
Unione Matematica Italiana
Mathesis Nazionale
Ministero Istruziome: Miur



 




   ESAMI DI STATO

LICEO SCIENTIFICO
PROVE DI MATEMATICA


P  N  I     2003     --    T E S T I



PROBLEMA 1

     Nel piano sono dati: il cerchio g di diametro OA = a, la retta t tangente a g in A, una retta r passante per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con g, il punto C intersezione di r con t. La parallela per B a t e la perpendicolare per C a t s'intersecano in P. Al variare di r, P descrive il luogo geometrico G noto con il nome di versiera di Agnesi [da Maria Gaetana Agnesi, matematica milanese, (1718-1799)].

  1. Si provi che valgono le seguenti proporzioni: OD : DB = OA : DP OC : DP = DP : BC ove D è la proiezione ortogonale di B su OA;
  2. Si verifichi che, con una opportuna scelta del sistema di coordinate cartesiane ortogonali e monometriche Oxy, l'equazione cartesiana di

  3. Si tracci il grafico di G e si provi che l'area compresa fra G e il suo asintoto è quattro volte quella del cerchio y.

PROBLEMA 2

     Sia
con a,b,c numeri reali. Si determinino a,b,c in modo che:
  1. la funzione f sia pari;
  2. f(0)=2;
  3.  
Si studi la funzione g ottenuta sostituendo ad a,b,c i valori così determinati e se ne disegni il grafico G.
Si consideri la retta r di equazione y=4 e si determinino, approssimativamente, le ascisse dei punti in cui essa interseca G, mettendo in atto un procedimento iterativo a scelta.
Si calcoli l'area della regione finita del piano racchiusa tra r e G.
Si calcoli

Si determini la funzione g' il cui grafico è simmetrico di G rispetto alla retta r.

QUESTIONARIO
  1. Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno) nel campionato italiano a 18 squadre?
  2. Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose. A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose e C ne contiene 1000 con il 10% difettose. Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada. Quale è la probabilità che essa sia difettosa?
  3. Quale è la capacità massima, espressa in centilitri, di un cono di apotema 2 dm?
  4. Dare un esempio di polinomio P(x) il cui grafico tagli la retta y=2 quattro volte.
  5. Dimostrare, usando il teorema di Rolle [da Michel Rolle, matematico francese, (1652-1719)], che se l'equazione:

    ammette radici reali, allora fra due di esse giace almeno una radice dell'equazione:

  6. Si vuole che l'equazione

    abbia tre radici reali. Quale è un possibile valore di b?
  7. Verificare l'uguaglianza:

    e utilizzarla per calcolare un'approssimazione di , applicando un metodo di integrazione numerica.
  8. Dare un esempio di solido il cui volume è dato da

    .
  9. Di una funzione f(x) si sa che ha derivata seconda uguale a senx e che. Quanto vale

  10. Verificare che l'equazione

    ammette tre radici reali. Di una di esse, quella compresa tra 0 e 1, se ne calcoli un'approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.


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