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Storia della Matematica e geometria
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Mathesis Nazionale
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   ESAMI DI STATO

LICEO SCIENTIFICO
PROVE DI MATEMATICA


P  N  I     2004     --    T E S T I



PROBLEMA 1

     Sia Formula la curva d'equazione:

Formula
ove Formula e Formula sono parametri positivi.
  1. Si studi e si disegni Formula;
  2. si determini il rettangolo di area massima che ha un lato sull'asse x e i vertici del lato opposto su Formula;
  3. sapendo che Formula e assumendo Formula, si trovi il valore da attribuire a Formula affinché l'area compresa tra Formula e l'asse x sia 1;
  4. per i valori di Formula e Formula sopra attribuiti, Formula è detta curva standard degli errori o delle probabilità o normale di Gauss (da Karl Friedrich Gauss, 1777-1855). Una media Formula e uno scarto quadratico medio Formula come modificano l'equazione e il grafico?
PROBLEMA 2

     Sia f la funzione così definita:
Formula
con a e b numeri reali diversi da zero.
  1. Si dimostri che, comunque scelti a e b, esiste sempre un valore di x tale che Formula
  2. Si consideri la funzione g ottenuta dalla f ponendo a = 2b = 2. Si studi g e se ne tracci il grafico.
  3. Si consideri per x > 0 il primo punto di massimo relativo e se ne fornisca una valutazione approssimata applicando un metodo iterativo a scelta.


QUESTIONARIO

  1. La misura degli angoli viene fatta adottando una opportuna unità di misura. Le più comuni sono i gradi sessagesimali, i radianti, i gradi centesimali. Quali ne sono le definizioni?
  2. Si provi che la superficie totale di un cilindro equilatero sta alla superficie della sfera ad esso circoscritta come 3 sta a 4.
  3. Un solido viene trasformato mediante una similitudine di rapporto 3. Come varia il suo volume? Come varia l'area della sua superficie?
  4. Dati gli insiemi Formula e Formula quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?
  5. Dare un esempio di funzione g, non costante, tale che:
    Formula e Formula
  6. Dare un esempio di funzione f(x) con un massimo relativo in (1, 3) e un minimo relativo in (-1, 2).
  7. Tra i triangoli di base assegnata e di uguale area, dimostrare che quello isoscele ha perimetro minimo.
  8. Si trovino due numeri reali a e b, Formula, che hanno somma e prodotto uguali.
  9. Si dimostri che l'equazione Formula ammette una e una sola soluzione e se ne calcoli un valore approssimato utilizzando un metodo iterativo a scelta.
  10. Nel piano è data la seguente trasformazione:
    Formula
  11. Di quale trasformazione si tratta?


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