ESAMI DI STATO

LICEO SCIENTIFICO
PROVE DI MATEMATICA

P  N  I     2002     --    T E S T I

Due numeri x e y hanno somma e quoziente uguali ad un numero reale a non nullo.

Riferito il piano ad un sistema S di coordinate cartesiane ortogonali e monometriche (x,y):

1. si interpreti e discuta il problema graficamente al variare di a;
2. si trovi l’equazione cartesiana del luogo dei punti P(x,y) che soddisfino al problema;
3. si rappresentino in S sia la curva che la curva simmetrica di rispetto alla bisettrice del I e del III quadrante;
4. si determini l’area della regione finita di piano del primo quadrante delimitata da e da e se ne dia un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati;
5. si calcoli y nel caso che x sia uguale a 1 e si colga la particolarità del risultato.

Problema 2

I raggi OA = OB = 1 metro tagliano il cerchio di centro O in due settori circolari, ciascuno dei quali costituisce lo sviluppo della superficie laterale di un cono circolare retto.

Si chiede di determinare:

1. il settore circolare (arco, ampiezza e rapporto percentuale con il cerchio) al quale corrisponde il cono C di volume massimo, il valore V di tale volume massimo e il valore V’ assunto in questo caso dal volume del secondo cono C’;
2. la capacità complessiva, espressa in litri, di C e di C’;
3. un’approssimazione della misura, in gradi sessagesimali, dell’angolo di apertura del cono C, specificando il metodo numerico che si utilizza per ottenerla.

QUESTIONARIO

1. Se a e b sono numeri positivi assegnati quale è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica? Quale delle due è più grande? E perché? Come si generalizzano tali medie se i numeri assegnati sono n?

2. Il seguente è uno dei celebri problemi del Cavaliere di Méré (1610 – 1685), amico di Blaise Pascal: "giocando a dadi è più probabile ottenere almeno una volta 1 con 4 lanci di un solo dado, oppure almeno un doppio 1 con 24 lanci di due dadi?"

3. Assumendo che i risultati – x, 1, 2 – delle 13 partite di Totocalcio siano equiprobabili, calcolare la probabilità che tutte le partite, eccetto una, terminino in parità.

4. Calcolare

5. Cosa si intende per "funzione periodica"? Quale è il periodo di f (x) = - sen? Quale quello di sen2x?

6. Utilizzando il teorema di Rolle, si verifichi che il polinomio , se n é pari ha al più due radici reali, se n è dispari ha al più tre radici reali.

7. Data la funzione

f(x)=

calcolarne i limiti per x tendente a e e provare che esiste un numero reale con 0< <1 in cui la funzione si annulla.

8. Verificare che la funzione è strettamente crescente. Detta g la funzione inversa, calcolare g’ (3)

9. Trovare f(4) sapendo che

10. Spiegare, con esempi appropriati, la differenza tra omotetia e similitudine nel piano.