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ESAMI DI STATO
LICEO SCIENTIFICO
PROVE DI MATEMATICA
SESSIONE SUPPLETIVA
P N I 2003 -- T E S T I
PROBLEMA 1
In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le parabole di equazione:
y = (a- 1) x2 - 2 a x + a2 ,
dove a è un parametro reale diverso da 1.
- Determinare quali tra esse hanno punti in comune con l'asse x e quali no.
- Trovare le due parabole che hanno il vertice in un punto di ascissa a.
- Stabilire se le due parabole trovate sono congruenti o no, fornendo un'esauriente spiegazione della risposta.
- Scrivere l'equazione del luogo geometrico L dei vertici delle parabole assegnate e
disegnarne l'andamento dopo averne determinato in particolare asintoti, estremi e flessi.
- Calcolare l'area della regione finita di piano delimitata dalla curva L e dalla retta di equazione y = 3/2
PROBLEMA 2
In un trapezio rettangolo ABCD, circoscritto ad un cerchio, AB è la base maggiore, C D la minore e BC il lato obliquo. Le misure, considerate rispetto alla stessa unità di misura, del raggio del cerchio e del perimetro del trapezio sono nell' ordine 2 e 18.
- Calcolare le misure dei lati del trapezio.
- Riferito il piano della figura ad un conveniente sistema di assi cartesiani (Oxy), scrivere le
coordinate dei vertici del trapezio.
- Tra le centro-affinità di equazioni:
x' = a x+ b y , y' = c x+ d y ,
trovare quella che trasforma il vertice B del trapezio nel vertice C e il vertice C nel vertice D
- Stabilire se la centro-affinità trovata presenta rette unite.
- Calcolare l'area della figura trasformata del cerchio inscritto nel trapezio in base alla centro- affìnità trovata sopra.
QUESTIONARIO
- Nota la lunghezza .di una corda di un cerchio di dato raggio, calcolare quella della corda sottesa dall'angolo al centro uguale alla metà di quello che sottende la corda data.
[Nota -La risoluzione del problema è stata usata da Tolomeo, II sec. d C., per la costruzione di una tavola trigonometrica in maniera equivalente alla nostra formula di bisezione del seno.]
- Nello spazio ordinario sono dati due piani
 ,  ed una retta r. Si sa che r è parallela ad e perpendicolare a . Cosa si può concludere circa la posizione reciproca di e ? Fornire un'esauriente spiegazione della risposta.
- Il dominio della funzione
 è l'insieme degli x reali tali che:
Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire un'esauriente spiegazione della scelta operata.
- Si consideri un polinomio di grado n
 2 nella variabile reale x con coefficienti reali. Dimostrare che condizione necessaria e sufficiente affinché esso ammetta due zeri uguali al numero reale a è che il valore del polinomio e quello della sua derivata prima si annullino per x = a .
- Stabilire se esistono i limiti della funzione
 per:
e, in caso di risposta affermativa, determinarli.
- Si consideri il seguente sistema di equazioni nelle incognite x, y, z
dove k è un parametro reale.
Dire se l'affermazione: "il sistema ammette la sola soluzione x=0, y=0, z=0 per ogni valore di k diverso da 1 " è vera o falsa e fornire una spiegazione esauriente della risposta.
- Utilizzando il procedimento preferito, dimostrare la formula che fornisce l' area della regione
piana racchiusa da un' ellisse di semiassi noti.
- In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy) , sono date le affinità di
equazioni:
x'=(a+l)x - by + a , y'=(a-l)x + 2by - l,
dove a, b sono parametri reali.
Dimostrare che fra esse vi è una similitudine diretta e di questa trovare il punto unito.
- Un'urna contiene 30 palline uguali in tutto e per tutto fuorché nel colore: infatti 18 sono bianche e 12 nere. Vengono estratte a caso, una dopo l'altra, due palline. Qual è la probabilità che la seconda pallina estratta sia bianca sapendo che la prima:
- è bianca e viene rimessa nell'urna?
- è bianca e non viene rimessa nell'urna?
- è messa da parte senza guardarne il colore?
- Considerata l'equazione in x:
dove a, b, c sono numeri reali qualsiasi, con a  0, scrivere un algoritmo che ne determini
le soluzioni reali e le comunichi, esaminando tutti i casi possibili.
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Problemi degli esami di stato
